累积分布函数的基本定义

累积分布函数 \( F(x) \) 定义为随机变量 \( X \) 小于或等于 \( x \) 的概率：

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

对于连续型随机变量，\( F(x) \) 是一个非递减的连续函数；而对于离散型随机变量，\( F(x) \) 是一个阶梯状的非递减函数。

累积分布函数的应用场景

累积分布函数广泛应用于金融、工程、自然科学等领域。例如，在风险管理中，可以通过 CDF 来评估某种风险发生的可能性；在信号处理中，CDF 可以用来分析噪声的分布特性。

百分点函数（PPF）

百分点函数是累积分布函数的逆函数，通常记作 \( F^{-1}(p) \)，表示使得 \( F(x) = p \) 成立的最小 \( x \) 值。换句话说，给定一个概率 \( p \)，PPF 返回的是对应于该概率的随机变量的取值。

\[ F^{-1}(p) = \inf\{x : F(x) \geq p\} \]

PPF 在统计推断中有重要作用，比如用于计算置信区间或者确定临界值。

实例分析

假设我们有一个正态分布 \( N(0, 1) \)，其累积分布函数为 \( \Phi(x) \)。如果我们想知道概率密度函数下的某一特定概率对应的分位数，就可以通过 PPF 来实现。例如，求标准正态分布下概率为 0.95 的分位数，实际上就是在寻找满足 \( \Phi(x) = 0.95 \) 的 \( x \) 值。

结论

累积分布函数及其逆函数——百分点函数，构成了统计学中非常重要的工具箱。它们不仅帮助我们理解数据的分布特性，还提供了强大的手段来进行数据分析与决策支持。掌握这些基本概念对于任何从事定量研究的人来说都是必不可少的知识点。