在信号处理与数学分析中，傅里叶变换是一种将时间域上的信号转换到频率域上的工具，它能够揭示信号中不同频率成分的分布情况。本文将从定义出发，详细推导余弦函数的傅里叶变换。
一、傅里叶变换的基本公式
对于一个连续时间函数 \( f(t) \)，其傅里叶变换 \( F(\omega) \) 定义为：
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt
\]
其中，\( j \) 是虚数单位 (\( j^2 = -1 \))，而 \( \omega \) 表示角频率。
二、余弦函数的形式
余弦函数可以表示为：
\[
f(t) = \cos(\omega_0 t)
\]
根据欧拉公式，余弦函数可以用复指数形式表示：
\[
\cos(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t}}{2}
\]
因此，余弦函数的傅里叶变换可以写成：
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\omega_0 t) e^{-j\omega t} \, dt
\]
代入欧拉公式后得到：
\[
F(\omega) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t} \right] e^{-j\omega t} \, dt
\]
进一步展开为两部分积分：
\[
F(\omega) = \frac{1}{2} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j(\omega_0 - \omega)t} \, dt + \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j(\omega_0 + \omega)t} \, dt \right]
\]
三、计算积分
注意到每个积分项都是标准的傅里叶变换核 \( e^{j\alpha t} \)，其结果是一个冲激函数：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\alpha t} \, dt = 2\pi \delta(\alpha)
\]
这里 \( \delta(\cdot) \) 表示狄拉克 delta 函数。将其代入上式，则有：
\[
F(\omega) = \frac{1}{2} \left[ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) + 2\pi \delta(\omega + \omega_0) \right]
\]
化简后得到：
\[
F(\omega) = \pi \left[ \delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0) \right]
\]
四、物理意义
上述结果表明，余弦函数的频谱由两个离散的冲激点组成，分别位于正负角频率 \( \pm \omega_0 \) 处，且幅度均为 \( \pi \)。这反映了余弦函数仅包含单一频率分量（即 \( \omega_0 \) 和 \( -\omega_0 \)），并且能量集中在这些频率点上。
五、总结
通过以上推导，我们得到了余弦函数的傅里叶变换公式：
\[
F(\omega) = \pi \left[ \delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0) \right]
\]
这一结论不仅展示了傅里叶变换的强大功能，还揭示了周期性信号的本质——它们总是由一组离散频率构成。希望本文能帮助读者更深入地理解傅里叶变换的核心思想及其应用价值。
