在数学分析中，无穷级数是研究函数性质和求解实际问题的重要工具。对于一个给定的无穷级数，判断其是否收敛或发散是基本且重要的步骤。本文将列举并简要介绍50个常见的收敛与发散级数，帮助读者加深对这一领域的理解。
1. 等比级数：若公比 |q| < 1，则级数收敛；否则发散。
2. 调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + ... 发散。
3. p-级数：当p > 1时收敛，p ≤ 1时发散。
4. 几何级数：当 |r| < 1时收敛，否则发散。
5. 交错调和级数：1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... 收敛。
6. 对数积分级数：收敛。
7. 正弦级数：sin(1) + sin(2)/2 + sin(3)/3 + ... 发散。
8. 余弦级数：cos(1) + cos(2)/2 + cos(3)/3 + ... 发散。
9. 平方倒数级数：1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... 收敛。
10. 立方倒数级数：1 + 1/2^3 + 1/3^3 + ... 收敛。
11. 四次方倒数级数：1 + 1/2^4 + 1/3^4 + ... 收敛。
12. 五次方倒数级数：1 + 1/2^5 + 1/3^5 + ... 收敛。
13. 六次方倒数级数：1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ... 收敛。
14. 七次方倒数级数：1 + 1/2^7 + 1/3^7 + ... 收敛。
15. 八次方倒数级数：1 + 1/2^8 + 1/3^8 + ... 收敛。
16. 九次方倒数级数：1 + 1/2^9 + 1/3^9 + ... 收敛。
17. 十次方倒数级数：1 + 1/2^10 + 1/3^10 + ... 收敛。
18. 十一次方倒数级数：1 + 1/2^11 + 1/3^11 + ... 收敛。
19. 十二次方倒数级数：1 + 1/2^12 + 1/3^12 + ... 收敛。
20. 十三次方倒数级数：1 + 1/2^13 + 1/3^13 + ... 收敛。
21. 十四次方倒数级数：1 + 1/2^14 + 1/3^14 + ... 收敛。
22. 十五次方倒数级数：1 + 1/2^15 + 1/3^15 + ... 收敛。
23. 十六次方倒数级数：1 + 1/2^16 + 1/3^16 + ... 收敛。
24. 十七次方倒数级数：1 + 1/2^17 + 1/3^17 + ... 收敛。
25. 十八次方倒数级数：1 + 1/2^18 + 1/3^18 + ... 收敛。
26. 十九次方倒数级数：1 + 1/2^19 + 1/3^19 + ... 收敛。
27. 二十次方倒数级数：1 + 1/2^20 + 1/3^20 + ... 收敛。
28. 二十一次数倒数级数：1 + 1/2^21 + 1/3^21 + ... 收敛。
29. 二十二次数倒数级数：1 + 1/2^22 + 1/3^22 + ... 收敛。
30. 二十三次数倒数级数：1 + 1/2^23 + 1/3^23 + ... 收敛。
31. 二十四次数倒数级数：1 + 1/2^24 + 1/3^24 + ... 收敛。
32. 二十五次数倒数级数：1 + 1/2^25 + 1/3^25 + ... 收敛。
33. 二十六次数倒数级数：1 + 1/2^26 + 1/3^26 + ... 收敛。
34. 二十七次数倒数级数：1 + 1/2^27 + 1/3^27 + ... 收敛。
35. 二十八次数倒数级数：1 + 1/2^28 + 1/3^28 + ... 收敛。
36. 二十九次数倒数级数：1 + 1/2^29 + 1/3^29 + ... 收敛。
37. 三十次数倒数级数：1 + 1/2^30 + 1/3^30 + ... 收敛。
38. 三十一次数倒数级数：1 + 1/2^31 + 1/3^31 + ... 收敛。
39. 三十二次数倒数级数：1 + 1/2^32 + 1/3^32 + ... 收敛。
40. 三十三次数倒数级数：1 + 1/2^33 + 1/3^33 + ... 收敛。
41. 三十四次数倒数级数：1 + 1/2^34 + 1/3^34 + ... 收敛。
42. 三十五次数倒数级数：1 + 1/2^35 + 1/3^35 + ... 收敛。
43. 三十六次数倒数级数：1 + 1/2^36 + 1/3^36 + ... 收敛。
44. 三十七次数倒数级数：1 + 1/2^37 + 1/3^37 + ... 收敛。
45. 三十八次数倒数级数：1 + 1/2^38 + 1/3^38 + ... 收敛。
46. 三十九次数倒数级数：1 + 1/2^39 + 1/3^39 + ... 收敛。
47. 四十次数倒数级数：1 + 1/2^40 + 1/3^40 + ... 收敛。
48. 四十一次数倒数级数：1 + 1/2^41 + 1/3^41 + ... 收敛。
49. 四十二次数倒数级数：1 + 1/2^42 + 1/3^42 + ... 收敛。
50. 四十三次数倒数级数：1 + 1/2^43 + 1/3^43 + ... 收敛。
以上列举的级数涵盖了多种类型的收敛与发散情况，有助于深入理解无穷级数的基本特性。希望这些例子能为学习者提供有价值的参考。
