在物理学中，转动惯量是一个非常重要的概念，它描述了物体对于某一轴旋转时的惯性大小。而平行轴定理和垂直轴定理则是计算转动惯量的重要工具。

平行轴定理

平行轴定理指出，刚体对于任意平行轴的转动惯量等于刚体对于通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量乘以两平行轴之间距离的平方。其数学表达式为：

\[ I = I_{cm} + md^2 \]

其中：

- \( I \) 是刚体对目标轴的转动惯量；

- \( I_{cm} \) 是刚体对通过质心的平行轴的转动惯量；

- \( m \) 是刚体的质量；

- \( d \) 是两平行轴之间的距离。

这个定理可以帮助我们简化复杂形状物体的转动惯量计算问题。例如，在计算一个长方形板绕其边缘的转动惯量时，我们可以先计算它绕中心轴的转动惯量，然后利用平行轴定理来得到结果。

垂直轴定理

垂直轴定理适用于平面刚体，它表明平面刚体对于垂直于该平面并通过质心的轴的转动惯量，等于该平面刚体对于两个相互垂直且位于该平面上的轴的转动惯量之和。其数学表达式为：

\[ I_z = I_x + I_y \]

其中：

- \( I_z \) 是垂直于平面并通过质心的轴的转动惯量；

- \( I_x \) 和 \( I_y \) 分别是位于该平面内的两个相互垂直轴的转动惯量。

这个定理特别适合用于那些具有对称性的平面图形，如圆形、矩形等。通过使用垂直轴定理，我们可以快速地计算出这些图形绕不同轴的转动惯量。

应用实例

假设我们有一个质量均匀分布的圆形薄盘，半径为 \( R \)，质量为 \( m \)。如果我们要计算这个圆盘绕其直径的转动惯量，可以首先利用垂直轴定理计算出它绕垂直于盘面并通过质心的轴的转动惯量，再结合平行轴定理调整到所需的轴上。

首先，我们知道圆盘绕垂直轴的转动惯量为 \( I_z = \frac{1}{2}mR^2 \)。根据垂直轴定理，这个值也等于 \( I_x + I_y \)，由于圆盘关于 \( x \) 轴和 \( y \) 轴是对称的，所以 \( I_x = I_y \)。因此，每个轴上的转动惯量为 \( \frac{1}{4}mR^2 \)。

接下来，如果我们需要计算圆盘绕其直径的转动惯量，可以应用平行轴定理。直径与垂直轴的距离为 \( R/2 \)，因此转动惯量变为：

\[ I = I_{cm} + md^2 = \frac{1}{4}mR^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}mR^2 \]

这样我们就得到了圆盘绕其直径的转动惯量。

总结

平行轴定理和垂直轴定理是处理刚体转动惯量问题的强大工具。它们不仅简化了复杂的计算过程，还帮助我们更好地理解刚体在不同条件下的运动特性。通过熟练掌握这两个定理的应用方法，我们可以更高效地解决各种物理问题。