三角函数练习题及答案
在数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理学、工程学等多个领域。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，本文将提供一些精选的三角函数练习题，并附上详细的解答过程。
练习题一：基本概念
1. 已知角 \( \theta \) 的正弦值为 \( \sin\theta = \frac{3}{5} \)，求其余弦值和正切值。
解答：
根据三角恒等式 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)，我们可以先计算出 \( \cos\theta \)：
\[
\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
\]
再利用正切公式 \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)，得到：
\[
\tan\theta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}
\]
练习题二：图像与性质
2. 给定函数 \( f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) \)，求其周期和振幅。
解答：
对于一般形式的正弦函数 \( A\sin(Bx + C) \)，其周期 \( T \) 和振幅 \( |A| \) 分别为：
\[
T = \frac{2\pi}{B}, \quad \text{振幅} = |A|
\]
在此题中，\( A = 2 \)，\( B = 2 \)，因此：
\[
T = \frac{2\pi}{2} = \pi, \quad \text{振幅} = |2| = 2
\]
练习题三：实际应用
3. 一座塔的高度为 50 米，从塔顶观测到地面某点的仰角为 30°，求该点与塔底之间的水平距离。
解答：
设水平距离为 \( x \)，根据正切函数的定义：
\[
\tan(30^\circ) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{50}{x}
\]
已知 \( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \)，代入后解得：
\[
x = \frac{50}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 50 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 50\sqrt{3}
\]
通过以上练习题，相信读者已经对三角函数有了更深入的理解。希望这些题目能够帮助大家巩固知识并提高解题能力！
这篇文章涵盖了基本概念、图像性质以及实际应用三个方面的练习题，旨在全面覆盖三角函数的核心知识点。希望对你有所帮助！
