在初中数学中，一次函数是一个重要的知识点。一次函数的形式为 \(y = kx + b\)，其中 \(k\) 是斜率，\(b\) 是截距。通过已知条件确定 \(k\) 和 \(b\) 的值是解决这类问题的关键。本文将通过一些典型的习题来帮助大家掌握使用待定系数法求解一次函数解析式的技巧。
例题一：已知两点坐标
假设我们已知一个一次函数经过点 \(A(1, 3)\) 和点 \(B(4, 6)\)，请确定该函数的解析式。
解答步骤：
1. 根据两点坐标计算斜率 \(k\)：
\[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 3}{4 - 1} = 1
\]
2. 将斜率 \(k = 1\) 和任意一点的坐标代入 \(y = kx + b\) 中，例如点 \(A(1, 3)\)：
\[
3 = 1 \cdot 1 + b \implies b = 2
\]
3. 因此，该一次函数的解析式为：
\[
y = x + 2
\]
例题二：已知斜率和一个点
已知一次函数的斜率为 \(k = -2\)，并且该函数经过点 \(C(-1, 5)\)，求其解析式。
解答步骤：
1. 已知 \(k = -2\)，代入 \(y = kx + b\) 中，得：
\[
y = -2x + b
\]
2. 将点 \(C(-1, 5)\) 的坐标代入上式：
\[
5 = -2(-1) + b \implies 5 = 2 + b \implies b = 3
\]
3. 所以，该一次函数的解析式为：
\[
y = -2x + 3
\]
例题三：平行线与垂直线
已知直线 \(L_1: y = 3x + 4\)，求过点 \(D(2, 7)\) 且平行于 \(L_1\) 的直线 \(L_2\) 的解析式。
解答步骤：
1. 平行线具有相同的斜率，因此 \(L_2\) 的斜率 \(k = 3\)。
2. 设 \(L_2\) 的解析式为 \(y = 3x + b\)，并将点 \(D(2, 7)\) 的坐标代入：
\[
7 = 3 \cdot 2 + b \implies 7 = 6 + b \implies b = 1
\]
3. 故 \(L_2\) 的解析式为：
\[
y = 3x + 1
\]
总结
通过上述几个例题可以看出，待定系数法的核心在于利用已知条件确定未知参数 \(k\) 和 \(b\)。无论是已知两点坐标、斜率及一点坐标，还是涉及平行或垂直关系的问题，都可以通过这一方法有效解决。希望大家通过这些练习能够更加熟练地掌握待定系数法的应用！
