高等数学作为大学教育中一门重要的基础课程，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。在学习过程中，掌握好基础知识和解题技巧是非常关键的一步。为了帮助大家更好地理解和巩固所学知识，下面我们将通过一些典型的例题来解析高等数学中的常见考点。

一、函数与极限

例题1：求函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) 的极限值 \( \lim_{x \to 2} f(x) \).

解答：

首先观察到当 \(x\) 趋近于 2 时，分母 \(x - 2\) 会趋于零，这表明我们需要对分子进行因式分解以简化表达式。分子 \(x^2 - 4\) 可以写成 \((x + 2)(x - 2)\)，因此原函数可以改写为：

\[ f(x) = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} \]

当 \(x \neq 2\) 时，\(x - 2\) 在分子和分母中相互抵消，得到：

\[ f(x) = x + 2 \]

因此，当 \(x\) 趋近于 2 时，\(f(x)\) 的极限值为：

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4 \]

二、导数与微分

例题2：设函数 \(g(x) = e^{3x} \sin(2x)\)，求其一阶导数 \(g'(x)\).

解答：

根据乘积法则 \((uv)' = u'v + uv'\)，我们可以将 \(g(x)\) 分解为两个部分：\(u(x) = e^{3x}\) 和 \(v(x) = \sin(2x)\)。分别计算它们的一阶导数：

- \(u'(x) = 3e^{3x}\)

- \(v'(x) = 2\cos(2x)\)

利用乘积法则得到：

\[ g'(x) = (3e^{3x})\sin(2x) + (e^{3x})(2\cos(2x)) \]

化简后得：

\[ g'(x) = e^{3x}(3\sin(2x) + 2\cos(2x)) \]

三、积分

例题3：计算定积分 \(\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) dx\).

解答：

利用三角恒等式 \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\)，我们可以将积分拆分为两部分：

\[ \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} dx + \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(2x)}{2} dx \]

第一部分的积分结果为：

\[ \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} \]

第二部分的积分结果为：

\[ \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(2x)}{2} dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{4} \right]_0^{\pi/2} = 0 \]

因此，最终的结果为：

\[ \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) dx = \frac{\pi}{4} \]

以上就是几个高等数学中的典型题目及其解答过程。希望这些例子能够帮助大家加深对高等数学的理解，并提高解题能力。如果还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时提问！