在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散型概率分布，它描述了从有限总体中不放回抽样时，特定事件发生的次数的概率分布。超几何分布的应用广泛，特别是在质量控制、生物统计等领域。本文将深入探讨超几何分布的期望值和方差的计算方法。

假设我们有一个包含N个个体的总体，其中M个个体属于目标类别（例如合格品），其余N-M个不属于目标类别。从这个总体中随机抽取n个个体，且不放回，设X为抽取到的目标类别个体的数量，则X服从超几何分布H(N,M,n)。

对于超几何分布，其期望值E(X)和方差Var(X)可以通过以下公式计算：

1. 期望值公式：

\[ E(X) = n \cdot \frac{M}{N} \]

2. 方差公式：

\[ Var(X) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1} \]

这两个公式的推导基于组合数学和概率论的基本原理。期望值的计算较为直观，反映了样本量n与总体中目标类别比例M/N之间的线性关系。而方差公式则考虑了抽样过程中无放回抽样的影响，因此包含了修正因子\(\frac{N-n}{N-1}\)，这一项体现了有限总体效应。

理解并掌握超几何分布的期望和方差公式对于实际问题的分析至关重要。例如，在质量检测中，通过这些公式可以预测抽样检查中发现的不合格品数量，并评估结果的稳定性。此外，这些公式也为更复杂的统计模型提供了理论基础。

总之，超几何分布的期望和方差公式不仅在理论上具有重要意义，而且在实践中也展现了强大的应用价值。理解和熟练运用这些公式，能够帮助我们更好地处理涉及有限总体的随机现象。