在数学学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点，它不仅在初中阶段被广泛教授，在高中乃至更高级的数学课程中也有着重要的应用。掌握好二元一次方程组的解法，有助于提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

本练习题旨在帮助学生巩固对二元一次方程组的理解，熟练运用代入法、加减消元法等基本方法进行求解，并提升解题速度和准确性。

一、基础题型

1. 解下列方程组：

$$

\begin{cases}

x + y = 7 \\

x - y = 3

\end{cases}

$$

2. 已知：

$$

\begin{cases}

2x + 3y = 12 \\

x - y = 1

\end{cases}

$$

求 $x$ 和 $y$ 的值。

3. 用加减法解方程组：

$$

\begin{cases}

3x + 4y = 10 \\

2x - 4y = 6

\end{cases}

$$

二、综合应用题

4. 小明去超市买了苹果和橘子，共花了20元。已知苹果每千克5元，橘子每千克3元，他一共买了5千克水果。问小明买了多少千克苹果和多少千克橘子？

5. 某班级有男生和女生共40人，其中男生人数比女生多8人。问该班男生和女生各有多少人？

6. 一个两位数的十位数字与个位数字之和为9，若将这个数的十位数字和个位数字调换位置后，新数比原数大27。求这个两位数。

三、拓展思考题（挑战类）

7. 解方程组：

$$

\begin{cases}

5x + 2y = 19 \\

3x - 4y = 7

\end{cases}

$$

8. 若关于 $x$ 和 $y$ 的方程组：

$$

\begin{cases}

2x + ky = 10 \\

kx - 3y = 6

\end{cases}

$$

有唯一解，求 $k$ 的取值范围。

9. 设 $a$ 和 $b$ 是常数，若方程组：

$$

\begin{cases}

ax + by = 1 \\

bx + ay = 1

\end{cases}

$$

有无穷多解，求 $a$ 和 $b$ 的关系。

四、答案与解析（可自行核对）

1. 解得：$x=5$，$y=2$

2. 解得：$x=3$，$y=2$

3. 解得：$x=2$，$y=1$

4. 苹果2千克，橘子3千克

5. 男生24人，女生16人

6. 原数是36

7. 解得：$x=3$，$y=2$

8. $k \neq -\sqrt{6}$ 且 $k \neq \sqrt{6}$

9. $a = b$

通过这些练习题，可以有效提升对二元一次方程组的理解和应用能力。建议在解题过程中注重步骤的清晰性与逻辑性，逐步培养良好的数学思维习惯。