在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅在课本中占据较大比重，而且在高考中也经常出现。掌握好三角函数的相关公式，有助于提高解题效率，增强对几何和代数问题的理解能力。本文将系统地整理高中阶段常见的三角函数公式，帮助学生更好地复习与应用。
一、基本概念
三角函数是研究直角三角形边角关系的函数，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等。在单位圆中，这些函数可以扩展到任意角度，并且具有周期性、对称性等性质。
二、基本公式
1. 三角函数定义
对于一个角θ：
- sinθ = 对边 / 斜边
- cosθ = 邻边 / 斜边
- tanθ = 对边 / 邻边
- cotθ = 邻边 / 对边
- secθ = 斜边 / 邻边
- cscθ = 斜边 / 对边
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，常见如下：
- sin(π - θ) = sinθ
- cos(π - θ) = -cosθ
- tan(π - θ) = -tanθ
- sin(π + θ) = -sinθ
- cos(π + θ) = -cosθ
- tan(π + θ) = tanθ
- sin(-θ) = -sinθ
- cos(-θ) = cosθ
- tan(-θ) = -tanθ
四、同角三角函数关系式
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
五、和差角公式
- sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
- cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
- tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
六、倍角公式
- sin2θ = 2sinθ cosθ
- cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
- tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)
七、半角公式
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ)
八、积化和差公式
- sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
- cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
- sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
九、和差化积公式
- sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
十、反三角函数基础
- arcsin(x) 的定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]
- arccos(x) 的定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]
- arctan(x) 的定义域为 R，值域为 (-π/2, π/2)
十一、三角函数图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
|------|--------|------|------|--------|
| sinx | R| [-1,1] | 2π | 奇函数 |
| cosx | R| [-1,1] | 2π | 偶函数 |
| tanx | x ≠ π/2 + kπ | R | π| 奇函数 |
十二、常用特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度 | sinθ | cosθ | tanθ |
|------------|------|------|------|------|
| 0° | 0| 0| 1| 0|
| 30°| π/6| 1/2| √3/2 | 1/√3 |
| 45°| π/4| √2/2 | √2/2 | 1|
| 60°| π/3| √3/2 | 1/2| √3 |
| 90°| π/2| 1| 0| 无意义 |
结语
三角函数是高中数学的重要组成部分，熟练掌握其相关公式不仅可以提升解题速度，还能加深对数学本质的理解。希望本篇文章能帮助同学们系统地复习和巩固三角函数的知识点，为今后的学习打下坚实的基础。
