【高二数学一课一练（(2)）】在高中数学的学习过程中，每一节课的练习都是巩固知识、提升能力的重要环节。今天我们将围绕“函数与导数”这一章节展开一次系统性的练习，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2. 若函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则其导数 $ f'(x) $ 是（ ）
A. $ -\frac{1}{x^2} $
B. $ \frac{1}{x^2} $
C. $ -\frac{1}{x} $
D. $ \frac{1}{x} $
3. 设函数 $ f(x) = \ln(x+1) $，则 $ f'(1) $ 的值为（ ）
A. 0
B. $ \frac{1}{2} $
C. $ \frac{1}{3} $
D. 1
4. 下列函数中，在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递增的是（ ）
A. $ y = \frac{1}{x} $
B. $ y = \sqrt{x} $
C. $ y = -x^2 $
D. $ y = \log_2 x $
二、填空题（每空5分，共20分）
5. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ 的导数为 ________。
6. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 ________。
7. 若 $ f(x) = \sin(2x) $，则 $ f'(x) = $ ________。
8. 已知函数 $ f(x) = e^{x} $，则 $ f'(0) = $ ________。
三、解答题（共60分）
9. （15分）已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $，求：
（1）函数的极值；
（2）函数在区间 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。
10. （15分）设函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $，求：
（1）函数的导数；
（2）函数的单调区间。
11. （15分）已知曲线 $ y = x^3 - 3x $，求：
（1）该曲线在点 $ (2, 2) $ 处的切线方程；
（2）该曲线的极值点及对应的函数值。
12. （15分）设函数 $ f(x) = x^2 \cdot e^{-x} $，求：
（1）函数的导数；
（2）函数的单调区间。
四、附加题（10分）
13. 已知函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，且满足 $ f(1) = 0 $，$ f'(1) = 2 $，$ f''(1) = 4 $，求 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
参考答案：
1. A
2. A
3. B
4. B
5. $ 2x - 4 $
6. 0
7. $ 2\cos(2x) $
8. 1
9. 极小值 $ f(2) = -2 $，极大值 $ f(0) = 2 $；最大值 2，最小值 -2
10. $ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} $，单调递增区间 $ (0, +\infty) $，递减区间 $ (-\infty, 0) $
11. 切线方程 $ y = 9x - 16 $，极值点 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $，对应值分别为 $ -2 $ 和 $ 2 $
12. $ f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} $，递增区间 $ (0, 2) $，递减区间 $ (-\infty, 0) $ 和 $ (2, +\infty) $
13. $ a = 2 $，$ b = -2 $，$ c = 0 $
通过本次练习，希望同学们能够加强对函数性质、导数计算以及极值分析的理解。数学是一门需要不断练习与思考的学科，只有通过反复训练，才能真正掌握其中的规律与技巧。
