【2018年秋九年级数学上册2.5一元二次方程的应用第1课时平均变化率】在初中数学的学习过程中，一元二次方程是一个重要的知识点，它不仅在代数中占有重要地位，而且在实际问题的解决中也发挥着重要作用。其中，“平均变化率”是应用一元二次方程解决实际问题的一个典型例子。

本节课的内容围绕“平均变化率”展开，旨在让学生理解如何将实际生活中的变化过程转化为数学模型，并通过建立一元二次方程来求解问题。通过对这一内容的学习，学生可以进一步掌握利用代数方法分析和解决实际问题的能力。

一、什么是平均变化率？

平均变化率是指某一数量在一定时间或范围内平均变化的程度。例如，在经济、物理、工程等领域中，常常会遇到某个量（如价格、速度、产量等）随时间变化的情况，而这些变化往往可以用平均变化率来表示。

在数学中，平均变化率通常可以通过两个变量之间的差值与时间间隔的比值来计算。如果这个变化过程具有某种规律性，比如线性或非线性的增长或减少，那么就可以通过建立相应的方程来描述其变化趋势。

二、一元二次方程与平均变化率的关系

当变化率不是恒定的时候，即变化过程呈现出曲线形式时，我们就需要使用更复杂的数学工具来描述这种变化。此时，一元二次方程就派上了用场。

例如，某商品的价格在一段时间内不断上涨，但涨幅逐渐变大，这种情况下，我们可以假设价格的变化符合某种二次函数的形式。通过设定变量，列出方程，并进行求解，我们就能找到该商品价格在特定时间点的数值，或者预测未来的价格走势。

三、典型例题解析

例题： 某工厂在2017年的产量为1000件，到2019年产量增长到了1440件。已知这期间每年的平均增长率相同，求每年的增长率是多少？

解题思路：

设每年的增长率为 $ x $（以小数表示），则：

- 2017年产量：1000

- 2018年产量：$ 1000(1 + x) $

- 2019年产量：$ 1000(1 + x)^2 $

根据题意，2019年的产量为1440，因此有：

$$

1000(1 + x)^2 = 1440

$$

两边同时除以1000得：

$$

(1 + x)^2 = 1.44

$$

开平方得：

$$

1 + x = \sqrt{1.44} = 1.2

$$

解得：

$$

x = 0.2

$$

即每年的增长率为20%。

四、课堂小结

通过本节课的学习，我们了解到平均变化率是描述数量变化快慢的一种方式，而一元二次方程则是解决这类问题的重要工具。在实际生活中，许多现象的变化并不总是线性的，而是呈现一定的曲线趋势，这时候就需要借助二次方程来建模和求解。

同学们在今后的学习中，应注重培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，同时也要熟练掌握一元二次方程的解法及其应用技巧。

温馨提示： 学习数学不仅仅是记忆公式和解题技巧，更重要的是理解背后的逻辑与思想。希望同学们在学习“平均变化率”的过程中，能够体会到数学与现实生活的紧密联系，提升自己的数学素养。