【等比数列练习（含答案）】在数学的学习过程中，等比数列是一个重要的知识点，广泛应用于数列、函数、几何以及实际问题的建模中。掌握等比数列的基本概念和性质，能够帮助我们更好地理解数列的变化规律，并解决相关问题。
一、等比数列的基本概念
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为公比，通常用字母 $ q $ 表示。
例如：
数列 $ 2, 6, 18, 54, 162, \ldots $ 是一个等比数列，其中首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 $ n $ 项可以表示为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
三、等比数列的求和公式
对于前 $ n $ 项的和 $ S_n $，当 $ q \neq 1 $ 时，有：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
或者：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时，所有项都相等，因此：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
四、等比数列练习题（含答案）
题目1
已知一个等比数列的首项为 3，公比为 2，求第 5 项是多少？
解答：
$$
a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48
$$
答案： 48
题目2
已知等比数列的前三项为 4, 12, 36，求其公比和第 6 项。
解答：
公比 $ q = \frac{12}{4} = 3 $
$$
a_6 = 4 \cdot 3^{6-1} = 4 \cdot 243 = 972
$$
答案： 公比为 3，第 6 项为 972
题目3
求等比数列 $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots $ 的前 5 项和。
解答：
首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = \frac{1}{2} $
$$
S_5 = 1 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^5}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{31}{32} \cdot 2 = \frac{31}{16}
$$
答案： 前 5 项和为 $ \frac{31}{16} $
题目4
已知等比数列的第 3 项为 18，第 5 项为 162，求公比和首项。
解答：
设首项为 $ a $，公比为 $ q $，则：
$$
a_3 = a \cdot q^2 = 18 \\
a_5 = a \cdot q^4 = 162
$$
将第一个式子代入第二个：
$$
\frac{a \cdot q^4}{a \cdot q^2} = \frac{162}{18} \Rightarrow q^2 = 9 \Rightarrow q = 3 \text{ 或 } -3
$$
若 $ q = 3 $，则 $ a \cdot 9 = 18 \Rightarrow a = 2 $
若 $ q = -3 $，则 $ a \cdot 9 = 18 \Rightarrow a = 2 $
两种情况都成立，但通常默认取正数公比。
答案： 公比为 3，首项为 2
五、总结
等比数列是数列中的重要类型，掌握其通项公式和求和公式是解题的关键。通过练习不同类型的题目，可以加深对等比数列的理解，并提高解题能力。
如需更多练习题或详细讲解，欢迎继续提问！
