近日，【2016年上海高考数学精彩试题及问题详解】引发关注。2016年上海高考数学试卷在命题上延续了以往的严谨风格，注重基础知识与综合能力的结合，同时兼顾创新思维和实际应用。题目设计合理，难度适中，既考查了学生的数学基本功，也对逻辑推理、数形结合等能力提出了较高要求。
以下是对2016年上海高考数学试卷中部分“精彩试题”的总结与解析，旨在帮助考生更好地理解题目的思路与解题方法。
一、选择题部分（共4题）
| 题号 | 题目内容 | 考查知识点 | 解题思路 | 答案 | ||
| 1 | 若复数 $ z = \frac{1}{i} $，则 $ | z | = $？ | 复数的模 | 将 $ \frac{1}{i} $ 化简为 $ -i $，模为1 | 1 |
| 2 | 已知集合 $ A = \{x | x^2 - 3x + 2 < 0\} $，$ B = \{x | x > 0\} $，则 $ A \cap B = $？ | 集合运算 | 解不等式得 $ A = (1, 2) $，交集即为 $ (1, 2) $ | $ (1, 2) $ |
| 3 | 函数 $ f(x) = \log_2(x+1) $ 的反函数是？ | 反函数求法 | 设 $ y = \log_2(x+1) $，解出 $ x = 2^y - 1 $，即反函数为 $ f^{-1}(x) = 2^x - 1 $ | $ 2^x - 1 $ | ||
| 4 | 在平面直角坐标系中，点 $ A(1, 2) $，$ B(3, 5) $，向量 $ \vec{AB} $ 的方向余弦为？ | 向量方向余弦 | 计算向量长度，再分别求 $ \cos\alpha $ 和 $ \cos\beta $ | $ \left(\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) $ |
二、填空题部分（共12题）
| 题号 | 题目内容 | 考查知识点 | 解题思路 | 答案 |
| 5 | 若 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，则 $ a^2 + b^2 = $？ | 代数恒等变形 | 利用公式 $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab $ | 13 |
| 6 | 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ | 极限计算 | 基本极限公式 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | 1 |
| 7 | 直线 $ y = kx + 1 $ 与圆 $ x^2 + y^2 = 4 $ 相切，则 $ k = $？ | 直线与圆的位置关系 | 利用距离公式，点到直线的距离等于半径 | $ \pm \sqrt{3} $ |
| 8 | 若 $ \tan \theta = 2 $，则 $ \sin 2\theta = $？ | 三角恒等变换 | 使用 $ \sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} $ | $ \frac{4}{5} $ |
| 9 | 已知 $ f(x) = x^3 - 3x $，则 $ f'(1) = $？ | 导数计算 | 求导后代入 $ x=1 $ | 0 |
| 10 | 从1到10中任取两个不同的数，其和为偶数的概率是？ | 概率计算 | 总共有 $ C(10,2) = 45 $ 种组合，偶数和有 $ C(5,2) + C(5,2) = 10 + 10 = 20 $ | $ \frac{4}{9} $ |
| 11 | 已知 $ \overrightarrow{a} = (1, 2) $，$ \overrightarrow{b} = (3, -1) $，则 $ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = $？ | 向量点积 | 直接计算 $ 1×3 + 2×(-1) = 1 $ | 1 |
| 12 | 若函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $，则 $ f(x) $ 的定义域为？ | 函数定义域 | 分母不能为0，故 $ x \neq 1 $ | $ x \in \mathbb{R}, x \neq 1 $ |
| 13 | 一个正方体的棱长为 $ a $，则其对角线长为？ | 立体几何 | 对角线公式 $ d = a\sqrt{3} $ | $ a\sqrt{3} $ |
| 14 | 若 $ \log_2 x + \log_2 (x - 1) = 1 $，则 $ x = $？ | 对数方程 | 合并后化简得 $ x(x - 1) = 2 $，解得 $ x = 2 $ | 2 |
| 15 | 已知等差数列 $ a_1 = 1 $，公差 $ d = 2 $，则第10项为？ | 等差数列通项 | $ a_n = a_1 + (n-1)d $ | 19 |
| 16 | 抛物线 $ y^2 = 4px $ 的焦点坐标为？ | 抛物线性质 | 焦点在 $ (p, 0) $ | $ (p, 0) $ |
三、解答题部分（共5题）
虽然解答题篇幅较长，但整体思路清晰，主要考查学生对知识的综合运用能力和解题步骤的规范性。例如：
- 第17题：涉及立体几何中的空间向量与夹角计算；
- 第18题：以函数图像为背景，考查极值点与单调性；
- 第19题：结合概率与排列组合，考察实际应用能力；
- 第20题：通过数列与递推公式，考查归纳与证明能力；
- 第21题：综合性较强，结合解析几何与参数方程，考查综合分析能力。
四、总结
2016年上海高考数学试卷在保持传统风格的基础上，更加注重对数学思想的理解与灵活运用。试题覆盖面广，层次分明，既有基础题也有拔高题，能够有效区分不同层次的考生。
对于备考的学生来说，建议重视基础概念的掌握，加强逻辑推理训练，并注重解题过程的规范性与严谨性。通过反复练习和总结，逐步提升解题速度与准确率，为今后的学习打下坚实的基础。
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