【求函数定义域的例题】在数学学习中，函数的定义域是函数研究的基础之一。定义域指的是函数中自变量可以取的所有值的集合。掌握如何求函数的定义域，对于理解函数的性质和图像具有重要意义。以下是一些常见的函数定义域问题及其解答，通过总结和表格形式展示，便于理解和复习。
一、常见函数类型及定义域总结
| 函数类型 | 一般表达式 | 定义域说明 | 举例 |
| 一次函数 | $ y = ax + b $ | 所有实数 | $ y = 2x + 3 $，定义域为 $ \mathbb{R} $ |
| 二次函数 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 所有实数 | $ y = x^2 - 4x + 5 $，定义域为 $ \mathbb{R} $ |
| 分式函数 | $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ | $ g(x) \neq 0 $ | $ y = \frac{1}{x-2} $，定义域为 $ x \neq 2 $ |
| 根号函数（偶次根） | $ y = \sqrt{f(x)} $ | $ f(x) \geq 0 $ | $ y = \sqrt{x+3} $，定义域为 $ x \geq -3 $ |
| 对数函数 | $ y = \log_a(f(x)) $ | $ f(x) > 0 $ | $ y = \log_2(x-1) $，定义域为 $ x > 1 $ |
| 指数函数 | $ y = a^{f(x)} $ | 所有实数（若底数为正） | $ y = 2^{x+1} $，定义域为 $ \mathbb{R} $ |
二、典型例题解析
例题1：
函数： $ y = \frac{1}{x^2 - 4} $
分析： 分母不能为零，即 $ x^2 - 4 \neq 0 $，解得 $ x \neq 2 $ 且 $ x \neq -2 $
定义域： $ (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) $
例题2：
函数： $ y = \sqrt{x - 3} $
分析： 根号下必须非负，即 $ x - 3 \geq 0 $，解得 $ x \geq 3 $
定义域： $ [3, +\infty) $
例题3：
函数： $ y = \log_5(x^2 - 1) $
分析： 对数函数要求真数大于0，即 $ x^2 - 1 > 0 $，解得 $ x < -1 $ 或 $ x > 1 $
定义域： $ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $
例题4：
函数： $ y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} $
分析： 根号下非负，即 $ x + 1 \geq 0 $ → $ x \geq -1 $；分母不为零，即 $ x \neq 1 $
定义域： $ [-1, 1) \cup (1, +\infty) $
三、总结
求函数定义域的关键在于识别函数中可能存在的限制条件，如分母不能为零、根号下不能为负、对数真数必须为正等。在实际应用中，需要根据函数的具体形式逐一分析，并结合代数运算得出最终的定义域范围。
通过上述例题与总结，可以更系统地掌握如何求函数的定义域，为后续的函数性质分析打下坚实基础。
以上就是【求函数定义域的例题】相关内容，希望对您有所帮助。
