【如何求一个函数的导数】在微积分中，导数是描述函数变化率的重要工具。求导的过程可以帮助我们了解函数在某一点的瞬时变化速度，或用于求极值、曲线斜率等问题。掌握导数的基本规则和方法，是学习高等数学的基础。
以下是对常见函数求导方法的总结，结合具体例子进行说明，并以表格形式展示关键知识点。
一、基本导数公式
| 函数类型 | 一般形式 | 导数 | 说明 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | $ n $ 为任意实数 |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ | $ a > 0, a \neq 1 $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数 |
| 三角函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 余弦为其导数 |
| 三角函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 正弦的负值 |
| 三角函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切的导数 |
二、导数运算法则
| 法则名称 | 公式 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ (cf(x))' = c f'(x) $ | 常数乘以函数的导数等于常数乘以导数 |
| 加法法则 | $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $ | 和的导数等于导数的和 |
| 减法法则 | $ (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) $ | 差的导数等于导数的差 |
| 乘积法则 | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
三、典型例题解析
例1： 求 $ f(x) = 3x^2 + 5x - 7 $ 的导数
解：
$$
f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 6x + 5
$$
例2： 求 $ f(x) = \sin(2x) $ 的导数
解：
使用链式法则：
$$
f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
例3： 求 $ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $ 的导数
解：
使用商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}
$$
四、总结
求导是微积分中的核心内容，掌握基本导数公式与运算法则是关键。通过熟练运用这些规则，可以快速求出各种复杂函数的导数。实际应用中，常常需要结合多个法则，如链式法则与乘积法则同时使用，才能得到正确的结果。
建议多做练习题，加深对导数的理解与应用能力。
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