【数学前n项和公式有哪些】在数学中，数列的前n项和是一个非常重要的概念，广泛应用于等差数列、等比数列、其他特殊数列的计算中。掌握这些前n项和公式，有助于快速求解数列相关的问题。以下是对常见数列前n项和公式的总结。
一、等差数列前n项和
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为一个常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则前n项和 $ S_n $ 的公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
或也可以写成：
$$
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
$$
其中 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $
二、等比数列前n项和
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为一个常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则前n项和 $ S_n $ 的公式为：
当 $ r \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，即所有项都相等，此时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、自然数前n项和
自然数前n项和是等差数列的一个特例，首项为1，公差为1。其公式为：
$$
S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
$$
四、平方数前n项和
平方数前n项和是将1到n的平方相加，公式如下：
$$
S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
$$
五、立方数前n项和
立方数前n项和是将1到n的立方相加，公式如下：
$$
S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2
$$
六、其他常见数列前n项和（简要）
| 数列类型 | 公式 | 说明 |
| 等差数列 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] $ | 首项 $ a_1 $，公差 $ d $ |
| 等比数列 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | 首项 $ a_1 $，公比 $ r $ |
| 自然数 | $ S_n = \frac{n(n+1)}{2} $ | 1到n的自然数之和 |
| 平方数 | $ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ | 1到n的平方和 |
| 立方数 | $ S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 $ | 1到n的立方和 |
通过上述公式，可以快速计算不同类型的数列前n项和。掌握这些公式不仅有助于提高计算效率，还能加深对数列性质的理解。在实际应用中，应根据数列的类型选择合适的公式进行计算。
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