【向量定比公式推导】在解析几何中，向量定比公式是一个重要的工具，用于解决点分线段的问题。它可以帮助我们根据已知的两个点和一个比例关系，求出分点的坐标。本文将对向量定比公式的推导过程进行总结，并通过表格形式展示关键步骤与公式。
一、基本概念
设平面上有两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，若存在一点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，并且满足向量 $ \vec{AP} = k \cdot \vec{PB} $，其中 $ k $ 是一个正实数，则称 $ P $ 是线段 $ AB $ 的定比分点，$ k $ 为定比。
二、向量定比公式的推导
1. 向量表示法
设点 $ P $ 的坐标为 $ (x, y) $，则：
$$
\vec{AP} = (x - x_1, y - y_1)
$$
$$
\vec{PB} = (x_2 - x, y_2 - y)
$$
根据题设条件：
$$
\vec{AP} = k \cdot \vec{PB}
$$
即：
$$
(x - x_1, y - y_1) = k \cdot (x_2 - x, y_2 - y)
$$
分别对横纵坐标进行比较：
$$
x - x_1 = k(x_2 - x)
$$
$$
y - y_1 = k(y_2 - y)
$$
整理得：
$$
x - x_1 = kx_2 - kx \Rightarrow x + kx = x_1 + kx_2 \Rightarrow x(1 + k) = x_1 + kx_2 \Rightarrow x = \frac{x_1 + kx_2}{1 + k}
$$
同理：
$$
y = \frac{y_1 + ky_2}{1 + k}
$$
三、结论公式
因此，点 $ P $ 的坐标为：
$$
P\left( \frac{x_1 + kx_2}{1 + k}, \frac{y_1 + ky_2}{1 + k} \right)
$$
这个公式称为向量定比公式，用于求解分点坐标。
四、总结与表格
| 步骤 | 内容 | 公式 |
| 1 | 定义点A和B | $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $ |
| 2 | 设分点P | $ P(x, y) $ |
| 3 | 向量关系 | $ \vec{AP} = k \cdot \vec{PB} $ |
| 4 | 分解向量 | $ (x - x_1, y - y_1) = k(x_2 - x, y_2 - y) $ |
| 5 | 分离变量 | $ x = \frac{x_1 + kx_2}{1 + k}, y = \frac{y_1 + ky_2}{1 + k} $ |
| 6 | 最终公式 | $ P\left( \frac{x_1 + kx_2}{1 + k}, \frac{y_1 + ky_2}{1 + k} \right) $ |
五、应用举例
假设 $ A(1, 2) $，$ B(4, 6) $，且 $ k = 2 $，则分点 $ P $ 的坐标为：
$$
x = \frac{1 + 2 \times 4}{1 + 2} = \frac{9}{3} = 3
$$
$$
y = \frac{2 + 2 \times 6}{1 + 2} = \frac{14}{3} \approx 4.67
$$
所以，点 $ P $ 坐标为 $ (3, \frac{14}{3}) $。
六、小结
向量定比公式是解析几何中的基础内容，能够帮助我们快速计算分点坐标。通过向量关系的建立与代数运算，我们可以得出简洁而实用的公式。掌握该公式有助于理解空间中点的分布规律，适用于工程、物理、计算机图形学等多个领域。
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