【样本变异系数的计算公式】在统计学中，样本变异系数（Coefficient of Variation, CV）是一种衡量数据离散程度的相对指标，常用于比较不同单位或不同量纲的数据集之间的变异性。与方差或标准差相比，变异系数能够消除单位和均值大小的影响，因此在实际应用中具有更高的可比性。
一、样本变异系数的定义
样本变异系数是样本标准差与样本均值的比值，通常以百分数形式表示。其公式如下：
$$
CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%
$$
其中：
- $ s $：样本标准差
- $ \bar{x} $：样本均值
该公式适用于数值型数据，且要求样本均值不为零。
二、计算步骤
1. 计算样本均值（$\bar{x}$）
将所有样本数据相加，再除以样本数量 $ n $。
2. 计算样本标准差（$ s $）
使用以下公式计算样本标准差：
$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}
$$
3. 计算变异系数（CV）
将标准差除以均值，并乘以100%，得到百分比形式的变异系数。
三、样本变异系数的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 比较不同单位的数据集 | 如比较身高与体重的波动情况 |
| 分析数据稳定性 | 变异系数越小，数据越稳定 |
| 投资风险评估 | 股票收益率的变异系数反映投资风险 |
| 质量控制 | 工艺流程中变异系数用于判断一致性 |
四、示例计算
假设某班级学生数学成绩如下（单位：分）：
| 学生 | 成绩 |
| A | 75 |
| B | 80 |
| C | 85 |
| D | 90 |
| E | 95 |
1. 计算均值
$$
\bar{x} = \frac{75 + 80 + 85 + 90 + 95}{5} = 85
$$
2. 计算标准差
$$
s = \sqrt{\frac{(75-85)^2 + (80-85)^2 + (85-85)^2 + (90-85)^2 + (95-85)^2}{4}} = \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{4}} = \sqrt{62.5} \approx 7.91
$$
3. 计算变异系数
$$
CV = \frac{7.91}{85} \times 100\% \approx 9.31\%
$$
五、总结
样本变异系数是衡量数据离散程度的重要工具，尤其适用于不同单位或尺度数据的比较。通过标准差与均值的比值，可以更直观地了解数据的相对波动性。在实际应用中，变异系数有助于识别数据的稳定性与风险水平，是统计分析中不可或缺的指标之一。
| 指标 | 公式 | 说明 |
| 样本均值 | $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i$ | 数据集中趋势的代表值 |
| 样本标准差 | $s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2}$ | 表示数据偏离均值的程度 |
| 变异系数 | $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$ | 表示数据的相对离散程度 |
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