在高中数学的学习过程中，立体几何是一个重要的模块，它不仅考察学生的空间想象能力，还考验逻辑推理与计算技巧。本篇将通过一道典型的立体几何题目进行详细解析，帮助同学们更好地掌握相关知识点。
题目：
如图所示，在正方体 $ ABCD-A_1B_1C_1D_1 $ 中，点 $ E $ 为棱 $ AB $ 的中点，点 $ F $ 为棱 $ BC $ 的中点。求直线 $ EF $ 与平面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 所成角的余弦值。
解析：
第一步：明确已知条件
- 正方体 $ ABCD-A_1B_1C_1D_1 $ 的边长记为 $ a $。
- 点 $ E $ 是棱 $ AB $ 的中点，因此其坐标为 $ E\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) $。
- 点 $ F $ 是棱 $ BC $ 的中点，因此其坐标为 $ F\left(a, \frac{a}{2}, 0\right) $。
- 平面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 的方程为 $ z = a $，因为它是正方体的上底面。
第二步：确定直线 $ EF $ 的方向向量
根据点 $ E $ 和点 $ F $ 的坐标，可以得到直线 $ EF $ 的方向向量：
$$
\overrightarrow{EF} = \left(a - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right).
$$
第三步：确定平面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 的法向量
平面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 的法向量可以通过平面内两条不平行的向量叉乘得出。取平面内的两个向量：
$$
\overrightarrow{A_1B_1} = (a, 0, 0), \quad \overrightarrow{A_1D_1} = (0, a, 0),
$$
则法向量为：
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1B_1} \times \overrightarrow{A_1D_1} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & 0 & 0 \\
0 & a & 0
\end{vmatrix} = (0, 0, a^2).
$$
第四步：计算夹角的余弦值
设直线 $ EF $ 与平面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 所成角为 $ \theta $，则有：
$$
\cos\theta = \frac{|\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{EF}\| \cdot \|\overrightarrow{n}\|}.
$$
首先计算点积：
$$
\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{n} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \cdot (0, 0, a^2) = 0.
$$
因此，$\cos\theta = 0$，即直线 $ EF $ 与平面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 所成角为 $ 90^\circ $。
总结：
通过以上分析可知，直线 $ EF $ 与平面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 垂直，所成角的余弦值为 0。这类问题的关键在于准确地表示直线的方向向量和平面的法向量，并灵活运用向量的点积公式来解决问题。
希望本文对大家理解立体几何中的线面关系有所帮助！
