在管理科学与工程领域，运筹学是一门非常重要的学科，它主要研究如何将复杂的实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解，从而找到最优或满意的解决方案。运筹学的应用范围广泛，涵盖了生产调度、物流运输、资源分配等多个方面。

为了帮助大家更好地掌握运筹学的基本概念和解题技巧，这里整理了一些经典习题及其详细解答。这些题目覆盖了线性规划、整数规划、动态规划等核心知识点，适合初学者以及希望深入理解运筹学理论的学生和专业人士。

线性规划部分

例题1：标准形式转换

某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要2小时加工时间和3单位原材料；每单位产品B需要4小时加工时间和2单位原材料。现有100小时加工时间及150单位原材料可供使用。若产品A售价为5元/单位，产品B售价为8元/单位，则该厂应如何安排生产计划才能实现最大利润？

解答

设x₁为产品A的产量，x₂为产品B的产量。目标函数为：

\[ Z = 5x_1 + 8x_2 \]

约束条件为：

\[ 2x_1 + 4x_2 \leq 100 \]

\[ 3x_1 + 2x_2 \leq 150 \]

\[ x_1, x_2 \geq 0 \]

通过图解法或单纯形法可得最优解为x₁=30,x₂=20，此时最大利润Z=290元。

整数规划部分

例题2：背包问题

一个旅行者带有一个容量为W公斤的背包，他可以选择携带若干物品放入包中。每个物品都有自己的重量wᵢ和价值vᵢ。问应该如何选择物品使总价值最大？

解答

这是一个典型的0-1背包问题，可以用动态规划解决。定义状态数组dp[j]表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值。转移方程为：

\[ dp[j] = max(dp[j], dp[j-w_i]+v_i) \]

最终dp[W]即为所求的最大价值。

动态规划部分

例题3：最长递增子序列

给定一个长度为n的序列a₁,a₂,...,an，请找出其中最长的递增子序列的长度。

解答

设f[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度，则有：

\[ f[i] = max(f[j])+1, \text{当} a_j < a_i \]

最终结果为max(f[i])。

以上只是运筹学中的一部分典型习题示例。希望通过对这些问题的学习和思考，能够加深对运筹学基本原理的理解，并能够在实践中灵活应用。如果还有其他具体的问题或者需要更详细的解释，请随时提问！