在统计学和机器学习中，线性回归是一种用于分析变量之间关系的基本方法。它通过拟合一条直线来描述自变量（输入）与因变量（输出）之间的关系。本文将详细介绍线性回归方程公式的推导过程。
一、问题定义
假设我们有n组观测数据，每组数据包含一个自变量\(x_i\)和一个对应的因变量\(y_i\)，其中\(i=1,2,...,n\)。我们的目标是找到一条直线\(y = wx + b\)，使得这条直线能够最好地拟合这些数据点。这里的\(w\)表示斜率，\(b\)表示截距。
二、损失函数的选择
为了衡量拟合的好坏，我们需要定义一个损失函数。在线性回归中，通常使用均方误差（Mean Squared Error, MSE）作为损失函数。MSE定义为：
\[
MSE(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(y_i - (wx_i + b))^2
\]
这个公式表示所有数据点到直线的距离的平方的平均值。我们的任务就是找到合适的\(w\)和\(b\)，使得MSE达到最小。
三、求解最优参数
为了找到使MSE最小的\(w\)和\(b\)，我们可以对MSE分别关于\(w\)和\(b\)求偏导数，并令其等于零，得到两个方程。然后解这两个方程就可以得到\(w\)和\(b\)的最佳值。
1. 对\(w\)求偏导
\[
\frac{\partial MSE}{\partial w} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i - (wx_i + b))
\]
令其等于零：
\[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = w \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 + b \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
\]
2. 对\(b\)求偏导
\[
\frac{\partial MSE}{\partial b} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - (wx_i + b))
\]
令其等于零：
\[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = w \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i + b
\]
四、联立方程求解
通过上述两个方程，我们可以解出\(w\)和\(b\)的具体表达式。经过整理后，可以得到以下结果：
\[
w = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
\]
\[
b = \frac{\sum y_i - w \sum x_i}{n}
\]
这就是线性回归方程中的斜率\(w\)和截距\(b\)的计算公式。
五、总结
通过对均方误差函数的优化，我们得到了线性回归方程的参数计算公式。这种方法不仅简单直观，而且具有较强的理论基础，在实际应用中非常广泛。无论是预测房价、股票价格还是其他连续型数据的趋势分析，线性回归都是一种不可或缺的工具。
以上便是线性回归方程公式推导的完整过程，希望对你有所帮助！
