在数学领域中，不等式是一种重要的工具，广泛应用于代数、几何以及优化问题等领域。掌握基本的不等式公式能够帮助我们更高效地解决实际问题。以下是四个常见的基本不等式及其公式表达：

1. 均值不等式

均值不等式又称为算术平均-几何平均不等式（AM-GM Inequality），其核心思想是任意非负实数的算术平均值总是大于或等于它们的几何平均值。

公式为：

$$

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n}

$$

其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$。

2. 柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式适用于向量空间中的内积运算，是线性代数和分析学中的重要工具。其形式如下：

$$

(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2

$$

其中，$a_i, b_i \in \mathbb{R}$。

3. 三角不等式

三角不等式是度量空间中最基础的性质之一，它描述了两点之间的距离关系。对于任意实数或复数$a$和$b$，有：

$$

|a + b| \leq |a| + |b|

$$

此外，在几何意义上，三角形两边之和大于第三边也符合这一规律。

4. 赫尔德不等式

赫尔德不等式是积分与级数理论中的一个推广结果，用于处理幂次不同的函数乘积的积分或求和问题。其一般形式为：

$$

\sum_{i=1}^n |x_iy_i| \leq \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^q\right)^{\frac{1}{q}}

$$

其中，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$且$p > 1, q > 1$。

以上四个不等式构成了数学分析的基础框架，熟练运用这些公式可以帮助我们快速分析和解决问题。希望读者能够在实践中不断深化理解，并灵活运用这些工具！