在数学运算中，被除数、除数、商和余数之间存在一定的关系。根据题意，我们可以列出一个基本的公式来表示这种关系：

\[ \text{被除数} = \text{除数} \times \text{商} + \text{余数} \]

题目给出了几个关键条件：

1. 被除数、除数、商与余数的总和为391。

2. 余数是4。

3. 商是11。

我们需要求出被除数的具体数值。

解题步骤

首先，设被除数为 \( x \)，除数为 \( y \)。根据题目条件，可以建立以下两个方程：

\[ x + y + 11 + 4 = 391 \]

\[ x = y \times 11 + 4 \]

从第一个方程中，我们可以简化得到：

\[ x + y = 376 \]

接下来，将第二个方程代入第一个方程：

\[ (y \times 11 + 4) + y = 376 \]

化简后得到：

\[ 12y + 4 = 376 \]

进一步化简：

\[ 12y = 372 \]

解得：

\[ y = 31 \]

将 \( y = 31 \) 代入第二个方程：

\[ x = 31 \times 11 + 4 \]

计算得：

\[ x = 341 + 4 = 345 \]

因此，被除数 \( x \) 的值为 345。

验证结果

验证是否满足所有条件：

1. \( x + y + 11 + 4 = 345 + 31 + 11 + 4 = 391 \)，符合条件。

2. \( x = y \times 11 + 4 = 31 \times 11 + 4 = 345 \)，符合条件。

最终答案为：

\[

\boxed{345}

\]