一、教学目标

1. 知识与技能目标：

- 理解并掌握二项式定理的基本形式及其展开规律；

- 能够运用二项式定理进行多项式的展开与简化；

- 掌握二项式系数的性质，如对称性、最大值等。

2. 过程与方法目标：

- 通过观察具体例子，归纳出二项式展开的规律；

- 培养学生的逻辑推理能力和归纳总结能力；

- 引导学生在实际问题中应用二项式定理，提升数学建模意识。

3. 情感态度与价值观目标：

- 激发学生对数学规律探索的兴趣；

- 培养严谨的数学思维习惯和合作学习精神。

二、教学重点与难点

- 重点：

二项式定理的公式及其展开形式；

二项式系数的计算方法。

- 难点：

理解二项式定理的推导过程；

灵活运用二项式定理解决实际问题。

三、教学准备

- 教材：人教版高中数学选修第三册

- 多媒体课件（展示二项式展开实例）

- 学生练习纸、笔

- 相关例题与习题资料

四、教学过程

1. 情境导入（5分钟）

教师提问：“我们已经学过多项式的乘法运算，例如 $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $，$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $。那么，如果指数更大，比如 $ (a + b)^n $，如何快速写出其展开式？”

引导学生思考，激发兴趣，引出课题“二项式定理”。

2. 新知探究（15分钟）

（1）观察与归纳：

教师展示几个具体的二项式展开式，如：

- $ (a + b)^1 = a + b $

- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

- $ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

- $ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $

引导学生观察各项的系数、次数变化规律，提出猜想。

（2）归纳二项式定理：

教师讲解并板书二项式定理公式：

$$

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k

$$

其中，$ C_n^k $ 表示组合数，即从 $ n $ 个不同元素中取出 $ k $ 个的组合方式数。

（3）理解公式意义：

解释每一项的意义，强调组合数的作用，以及各项的次数总和为 $ n $。

3. 典型例题解析（15分钟）

例题1：

展开 $ (x + y)^5 $，并写出第3项。

分析：

利用公式 $ C_5^k x^{5-k} y^k $，当 $ k = 2 $ 时，第3项为：

$$

C_5^2 x^3 y^2 = 10x^3y^2

$$

例题2：

求 $ (2x - 3)^4 $ 的展开式中的常数项。

分析：

令 $ x $ 的指数为 0，即 $ 4 - k = 0 $，得 $ k = 4 $，代入公式：

$$

C_4^4 (2x)^0 (-3)^4 = 1 \times 1 \times 81 = 81

$$

4. 巩固练习（10分钟）

布置几道基础题目，如：

- 展开 $ (a + b)^6 $

- 写出 $ (x - 2)^5 $ 的第4项

- 求 $ (3x + 1)^4 $ 中含 $ x^2 $ 的项

鼓励学生独立完成，并适时进行个别辅导。

5. 总结提升（5分钟）

教师带领学生回顾本节课内容，强调以下几点：

- 二项式定理是研究多项式展开的重要工具；

- 组合数在展开式中起关键作用；

- 通过观察与归纳，可以发现数学规律。

同时，布置课后作业，巩固所学内容。

五、作业设计

1. 完成教材P105页第1、2、3题；

2. 预习下一节“二项式系数的性质”；

3. 自选一道题目，尝试用不同的方法进行验证。

六、教学反思

本节课通过由浅入深的方式，引导学生主动参与，逐步构建对二项式定理的理解。在今后的教学中，应进一步加强学生对组合数的应用能力，提高其解决实际问题的能力。

---