一、教学目标
1. 知识与技能：理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够运用韦达定理进行相关计算和问题解决。
2. 过程与方法：通过观察、归纳、推理等数学活动，提升学生的逻辑思维能力和代数运算能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学规律的探索兴趣，增强学习数学的信心。
二、教学重点与难点
- 重点：一元二次方程的根与系数之间的关系（即韦达定理）。
- 难点：灵活运用韦达定理解决实际问题，特别是涉及参数变化时的分析与判断。
三、教学准备
- 教师准备：多媒体课件、练习题、板书设计。
- 学生准备：复习一元二次方程的一般形式及其解法。
四、教学过程
1. 情境导入（5分钟）
教师提问：“已知一个一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，如果已知它的两个根是 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，我们能否不求出具体的根，而直接根据系数 $ a, b, c $ 来找到它们的和与积？”
引导学生思考，并引出本节课的主题——一元二次方程根与系数的关系。
2. 新知探究（15分钟）
教师引导学生回顾一元二次方程的求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
设方程的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则：
$$
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$
教师通过具体例子验证这一结论，例如：
- 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的两个根是 2 和 3，其和为 5，积为 6，符合 $ \frac{-(-5)}{1} = 5 $，$ \frac{6}{1} = 6 $。
- 方程 $ 2x^2 + 4x - 6 = 0 $ 的两个根为 1 和 -3，其和为 -2，积为 -3，符合 $ \frac{-4}{2} = -2 $，$ \frac{-6}{2} = -3 $。
3. 知识总结（5分钟）
教师带领学生总结：
- 对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $），若其两根为 $ x_1 $、$ x_2 $，则有：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$
- 这个结论称为韦达定理。
4. 应用训练（15分钟）
教师布置几道典型例题，让学生独立完成或小组讨论后解答：
例题1：已知方程 $ x^2 - 6x + 8 = 0 $，求两根之和与积。
例题2：若方程 $ 3x^2 + px + q = 0 $ 的两根之和为 4，积为 -5，求 $ p $ 和 $ q $ 的值。
例题3：已知方程 $ x^2 + (m - 1)x + m = 0 $ 的两根互为相反数，求 $ m $ 的值。
5. 拓展提升（5分钟）
教师引导学生思考以下问题：
- 如果方程的两根满足某种特殊关系（如相等、互为倒数、互为相反数等），如何利用韦达定理进行分析？
- 在含有参数的方程中，如何结合判别式与韦达定理来判断根的情况？
6. 小结与作业（5分钟）
- 小结：今天我们学习了一元二次方程根与系数之间的关系，掌握了韦达定理的基本内容和应用方法。
- 作业：
1. 完成教材第XX页练习题第1~5题。
2. 自选一道含参数的方程，尝试用韦达定理分析其根的性质。
五、板书设计
```
一元二次方程根与系数的关系
一、基本形式：
ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）
二、根与系数的关系：
x₁ + x₂ = -b/a
x₁·x₂ = c/a
三、应用举例：
例1：x² - 5x + 6 = 0 → x₁+x₂=5，x₁x₂=6
例2：3x² + px + q = 0 → x₁+x₂=-p/3，x₁x₂=q/3
```
六、教学反思
本节课通过引导学生从具体例子中发现规律，逐步推导出韦达定理，有助于培养学生的数学思维能力。在今后的教学中，应加强学生对参数问题的理解与分析能力，进一步提升综合运用知识的能力。
