【《复变函数》课后习题答案】在学习《复变函数》这门课程的过程中，课后练习题是巩固知识、提升理解的重要手段。为了帮助同学们更好地掌握相关概念与解题技巧，本文整理了部分典型习题的解答过程，供参考与学习。
一、复数与复平面上的基本运算
1. 习题：设 $ z = 1 + i $，求 $ z^2 $ 的值。
解答：
利用复数乘法公式计算：
$$
z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i
$$
因此，$ z^2 = 2i $。
2. 习题：将复数 $ z = 3 - 4i $ 表示为极坐标形式。
解答：
首先计算模长：
$$
|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
再计算幅角（主值）：
$$
\theta = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right)
$$
由于该复数位于第四象限，故其幅角为负值，可表示为：
$$
z = 5 \left( \cos\theta + i \sin\theta \right), \quad \theta = \arctan\left(-\frac{4}{3}\right)
$$
二、解析函数与柯西-黎曼方程
1. 习题：判断函数 $ f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi $ 是否为解析函数。
解答：
令 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，则有：
$$
u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy
$$
验证柯西-黎曼方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \\
\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y
$$
显然，满足：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
$$
因此，该函数在复平面上处处解析。
三、积分与留数定理
1. 习题：计算积分 $ \oint_C \frac{1}{z} dz $，其中 $ C $ 是以原点为中心、半径为 1 的正向圆周。
解答：
根据柯西积分公式，若 $ f(z) $ 在区域内解析，且 $ a $ 在区域内，则：
$$
\oint_C \frac{f(z)}{z - a} dz = 2\pi i f(a)
$$
本题中 $ f(z) = 1 $，$ a = 0 $，所以：
$$
\oint_C \frac{1}{z} dz = 2\pi i
$$
四、级数展开与留数应用
1. 习题：将函数 $ f(z) = \frac{1}{1 - z} $ 在 $ z = 0 $ 处展开为泰勒级数。
解答：
已知：
$$
\frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n, \quad |z| < 1
$$
这是典型的几何级数展开，收敛半径为 1。
总结：
通过上述习题的解答过程可以看出，《复变函数》不仅涉及复数的基本运算，还深入探讨了函数的解析性、积分计算以及级数展开等核心内容。掌握这些基础知识，有助于进一步理解复分析在工程、物理等领域的广泛应用。建议在学习过程中多做练习，结合图形与实例加深理解。
