【微分公式大全】在数学的学习与应用中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常见的微分公式不仅有助于解题效率的提升，还能加深对函数性质的理解。本文将系统整理一些常用的微分公式，帮助读者更好地理解和运用。
一、基本初等函数的导数
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $，其中 $ n \in \mathbb{R} $，则：
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数
- $ f(x) = a^x $，则：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
- 特别地，当 $ a = e $ 时，有：
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数
- $ f(x) = \log_a x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
- 当 $ a = e $ 时，即自然对数：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $，则：
$$
f'(x) = \cos x
$$
- $ f(x) = \cos x $，则：
$$
f'(x) = -\sin x
$$
- $ f(x) = \tan x $，则：
$$
f'(x) = \sec^2 x
$$
- $ f(x) = \cot x $，则：
$$
f'(x) = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arccos x $，则：
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arctan x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、导数的运算法则
1. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x) \pm v'(x)
$$
2. 乘法法则
若 $ f(x) = u(x)v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
4. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(g(x)) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、高阶导数与隐函数求导
1. 高阶导数
函数的二阶导数为一阶导数的导数，记作 $ f''(x) $，依此类推。
2. 隐函数求导
若 $ F(x, y) = 0 $，可通过两边对 $ x $ 求导并解出 $ \frac{dy}{dx} $ 来求得隐函数的导数。
四、特殊函数的导数
1. 双曲函数
- $ f(x) = \sinh x $，则：
$$
f'(x) = \cosh x
$$
- $ f(x) = \cosh x $，则：
$$
f'(x) = \sinh x
$$
2. 反双曲函数
- $ f(x) = \text{arcsinh} x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
$$
- $ f(x) = \text{arccosh} x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \quad (x > 1)
$$
五、小结
微分是数学分析的核心内容之一，掌握常见函数的导数以及求导法则，能够极大提高解题效率和理解深度。无论是基础的初等函数，还是复杂的复合函数或隐函数，都有其对应的导数计算方法。通过不断练习和总结，可以更熟练地运用这些公式解决实际问题。
提示：在实际应用中，建议结合图像理解函数的变化趋势，并注意导数的几何意义（如切线斜率）。此外，对于复杂函数，可借助计算器或数学软件辅助验证结果。
