【二项式定理经典习题及答案】在高中数学中，二项式定理是一个非常重要的知识点，它不仅在代数中广泛应用，而且在组合数学、概率论等领域也具有重要意义。掌握好二项式定理的公式及其应用，有助于解决许多实际问题。本文将通过一些经典的例题和详细的解析，帮助读者更好地理解和运用这一重要数学工具。
一、二项式定理的基本概念
二项式定理是用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式的数学公式，其形式如下：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中，$\binom{n}{k}$ 表示组合数，即从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的方式数目，计算公式为：
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
二、经典例题解析
例题1：求 $(x + y)^5$ 的展开式
解：
根据二项式定理，展开式为：
$$
(x + y)^5 = \binom{5}{0}x^5y^0 + \binom{5}{1}x^4y^1 + \binom{5}{2}x^3y^2 + \binom{5}{3}x^2y^3 + \binom{5}{4}x^1y^4 + \binom{5}{5}x^0y^5
$$
分别计算各项系数：
- $\binom{5}{0} = 1$
- $\binom{5}{1} = 5$
- $\binom{5}{2} = 10$
- $\binom{5}{3} = 10$
- $\binom{5}{4} = 5$
- $\binom{5}{5} = 1$
因此，展开式为：
$$
x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5
$$
例题2：求 $(2x - 3)^6$ 的第4项
解：
根据二项式定理，$(a + b)^n$ 的第 $k+1$ 项为：
$$
T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
这里 $a = 2x$，$b = -3$，$n = 6$，要求第4项，即 $k = 3$。
$$
T_4 = \binom{6}{3}(2x)^{6-3}(-3)^3 = \binom{6}{3}(2x)^3(-27)
$$
计算各项：
- $\binom{6}{3} = 20$
- $(2x)^3 = 8x^3$
- $(-3)^3 = -27$
所以：
$$
T_4 = 20 \times 8x^3 \times (-27) = 20 \times (-216)x^3 = -4320x^3
$$
例题3：求 $(1 + x)^{10}$ 中 $x^3$ 的系数
解：
根据二项式展开式，$x^3$ 对应的是 $k = 3$ 的项：
$$
T_4 = \binom{10}{3}x^3
$$
计算：
$$
\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
$$
因此，$x^3$ 的系数为 120。
三、常见误区与注意事项
1. 符号问题：当 $b$ 是负数时，注意每一项的符号变化。
2. 项数问题：$(a + b)^n$ 展开后共有 $n + 1$ 项。
3. 组合数计算：熟练掌握组合数的计算方法，避免出错。
4. 通项公式：熟悉通项公式 $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$，便于快速求某一项。
四、总结
二项式定理不仅是学习代数的重要工具，也是解决多项式展开、组合计数等问题的基础。通过多做练习题，加深对公式的理解，并掌握灵活运用的方法，能够显著提升数学思维能力。希望以上内容能对大家的学习有所帮助！
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参考答案：
1. $(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$
2. $(2x - 3)^6$ 的第4项为 $-4320x^3$
3. $(1 + x)^{10}$ 中 $x^3$ 的系数为 120
