【15.3.3多项式除以多项式导学案】一、学习目标：
1. 理解多项式除以多项式的含义及基本方法。
2. 掌握用长除法进行多项式除法的步骤。
3. 能够正确判断多项式是否能整除，并求出商与余数。
4. 培养逻辑思维能力，提升代数运算的准确性。
二、重点与难点：
- 重点： 多项式除法的步骤与方法。
- 难点： 余数的处理与多项式除法的实际应用。
三、知识回顾：
1. 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相减，单独字母照抄。
例如：$ 8x^3 ÷ 2x = 4x^2 $。
2. 多项式除以单项式：将每一项分别除以该单项式。
例如：$ (6x^2 + 3x) ÷ 3x = 2x + 1 $。
四、新知探究：
1. 多项式除以多项式的意义：
多项式除以多项式是将一个多项式表示为另一个多项式与商的乘积加上余数的形式，即：
$$
\text{被除式} = \text{除式} × \text{商} + \text{余式}
$$
其中，余式的次数低于除式的次数。
2. 多项式除法的步骤（长除法）：
（1）按降幂排列被除式和除式；
（2）用除式的首项去除被除式的首项，得到商的第一项；
（3）将该商项与除式相乘，写在被除式下方；
（4）用被除式减去这个乘积，得到新的被除式；
（5）重复上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数为止。
举例说明：
计算：$ (x^3 + 2x^2 - 3x + 4) ÷ (x - 1) $
步骤如下：
1. 按降幂排列：
被除式：$ x^3 + 2x^2 - 3x + 4 $
除式：$ x - 1 $
2. 用 $ x $ 除 $ x^3 $ 得到 $ x^2 $，作为商的第一项。
3. 将 $ x^2 $ 与 $ x - 1 $ 相乘：
$ x^2(x - 1) = x^3 - x^2 $
4. 用原被除式减去这个结果：
$ (x^3 + 2x^2 - 3x + 4) - (x^3 - x^2) = 3x^2 - 3x + 4 $
5. 再用 $ x $ 除 $ 3x^2 $ 得到 $ 3x $，作为商的第二项。
6. 将 $ 3x $ 与 $ x - 1 $ 相乘：
$ 3x(x - 1) = 3x^2 - 3x $
7. 用当前被除式减去这个结果：
$ (3x^2 - 3x + 4) - (3x^2 - 3x) = 0x + 4 $
8. 余式为 4，次数低于除式（一次），除法结束。
最终结果：
商为 $ x^2 + 3x $，余式为 4。
即：
$$
(x^3 + 2x^2 - 3x + 4) ÷ (x - 1) = x^2 + 3x \quad \text{余} \ 4
$$
五、课堂练习：
1. 计算：$ (x^2 + 5x + 6) ÷ (x + 2) $
2. 计算：$ (2x^3 - 5x^2 + 7x - 3) ÷ (x - 2) $
3. 判断：$ (x^4 - 1) ÷ (x^2 - 1) $ 是否能整除？若能，求商。
六、总结与反思：
- 多项式除法类似于整数除法，但需要考虑多项式的次数和项的顺序。
- 长除法是解决多项式除法的有效方法，需反复练习以提高准确率。
- 在实际问题中，多项式除法常用于因式分解、简化表达式等。
七、课后作业：
1. 完成课本第 15 页第 3、4 题。
2. 自选两道多项式除法题目，用长除法进行计算并写出过程。
3. 思考题：若 $ (x^3 + ax^2 + bx + c) ÷ (x + 1) $ 的余数为 2，试求 $ a, b, c $ 的关系。
备注：
本导学案旨在帮助学生掌握多项式除法的基本方法，通过逐步引导，增强学生的运算能力和逻辑推理能力。
