【一元二次方程的求根公式】在初中数学中，一元二次方程是一个重要的知识点，其形式为 $ ax^2 + bx + c = 0 $（其中 $ a \neq 0 $）。解一元二次方程的方法有多种，如配方法、因式分解法和求根公式法。其中，求根公式是应用最广泛的一种方法，能够快速求出任意一元二次方程的实数或复数解。
一、求根公式的推导
一元二次方程的标准形式为：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
通过配方法，可以将该方程转化为平方的形式，进而得到求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中，$ b^2 - 4ac $ 称为判别式，记作 $ \Delta $。根据判别式的不同值，可以判断方程的根的情况：
- 当 $ \Delta > 0 $：方程有两个不相等的实数根；
- 当 $ \Delta = 0 $：方程有两个相等的实数根（即重根）；
- 当 $ \Delta < 0 $：方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
二、使用求根公式的关键步骤
1. 确定系数：从方程中识别出 $ a $、$ b $ 和 $ c $ 的值。
2. 计算判别式：计算 $ \Delta = b^2 - 4ac $。
3. 代入公式：将 $ a $、$ b $、$ c $ 和 $ \Delta $ 代入求根公式，得到两个解。
三、典型例题解析
| 方程 | 系数 | 判别式 $ \Delta $ | 根的类型 | 解 |
| $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ | $ a=1, b=-5, c=6 $ | $ (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 $ | 两个不等实数根 | $ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} $ → $ x = 3 $ 或 $ x = 2 $ |
| $ x^2 + 4x + 4 = 0 $ | $ a=1, b=4, c=4 $ | $ 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 $ | 两个相等实数根 | $ x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $ |
| $ x^2 + x + 1 = 0 $ | $ a=1, b=1, c=1 $ | $ 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 $ | 两个共轭复数根 | $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} $ |
四、总结
一元二次方程的求根公式是一种简洁而强大的工具，能够快速求得方程的解。掌握其推导过程与应用方法，有助于提高解题效率，并加深对二次方程性质的理解。在实际问题中，合理运用求根公式，可以帮助我们更准确地分析和解决问题。
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