【不等式的基本性质】在数学中，不等式是表示两个数或表达式之间大小关系的一种形式。与等式不同，不等式并不表示两者相等，而是表示它们之间的“大于”、“小于”、“大于等于”或“小于等于”的关系。掌握不等式的基本性质，有助于我们更好地理解和解决各种不等式问题。
以下是对不等式基本性质的总结，以文字说明加表格的形式呈现，便于理解与记忆。
一、不等式的基本性质
1. 对称性
如果 $ a < b $，那么 $ b > a $；如果 $ a > b $，那么 $ b < a $。
不等式具有对称性，可以互换两边的位置，并改变不等号的方向。
2. 传递性
如果 $ a < b $ 且 $ b < c $，那么 $ a < c $；
如果 $ a > b $ 且 $ b > c $，那么 $ a > c $。
不等式具有传递性，可以用来比较多个数的大小关系。
3. 加法性质
如果 $ a < b $，那么 $ a + c < b + c $；
如果 $ a > b $，那么 $ a + c > b + c $。
在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。
4. 减法性质
如果 $ a < b $，那么 $ a - c < b - c $；
如果 $ a > b $，那么 $ a - c > b - c $。
减去同一个数，不等号方向也不变。
5. 乘法性质（正数）
如果 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，那么 $ ac < bc $；
如果 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，那么 $ ac > bc $。
两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。
6. 乘法性质（负数）
如果 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，那么 $ ac > bc $；
如果 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，那么 $ ac < bc $。
两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变。
7. 除法性质（正数）
如果 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，那么 $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $；
如果 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，那么 $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $。
两边同时除以一个正数，不等号方向不变。
8. 除法性质（负数）
如果 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，那么 $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $；
如果 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，那么 $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $。
两边同时除以一个负数，不等号方向要改变。
9. 同向不等式相加
如果 $ a < b $ 且 $ c < d $，那么 $ a + c < b + d $。
同向不等式可以相加，结果仍为不等式。
10. 同向不等式相乘（正数）
如果 $ a < b $ 且 $ c < d $，并且 $ a, b, c, d $ 均为正数，则 $ ac < bd $。
同向不等式相乘时，若所有数均为正，不等号方向不变。
二、不等式基本性质总结表
| 性质名称 | 表达式示例 | 是否改变不等号方向 |
| 对称性 | 若 $ a < b $，则 $ b > a $ | 是 |
| 传递性 | 若 $ a < b $ 且 $ b < c $，则 $ a < c $ | 否 |
| 加法性质 | 若 $ a < b $，则 $ a + c < b + c $ | 否 |
| 减法性质 | 若 $ a < b $，则 $ a - c < b - c $ | 否 |
| 乘法性质（正数） | 若 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac < bc $ | 否 |
| 乘法性质（负数） | 若 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac > bc $ | 是 |
| 除法性质（正数） | 若 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，则 $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $ | 否 |
| 除法性质（负数） | 若 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，则 $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $ | 是 |
| 同向不等式相加 | 若 $ a < b $ 且 $ c < d $，则 $ a + c < b + d $ | 否 |
| 同向不等式相乘 | 若 $ a < b $ 且 $ c < d $，且均为正数，则 $ ac < bd $ | 否 |
通过以上总结和表格，我们可以清晰地了解不等式的各种基本性质及其应用规则。这些性质在解不等式、比较数值大小以及进行代数推导时都非常重要。掌握好这些内容，将有助于提高数学分析和解决问题的能力。
