【转动惯量公式推导】在物理学中，转动惯量是描述物体绕轴旋转时惯性大小的物理量。它类似于平动中的质量，但与质量不同的是，转动惯量不仅取决于物体的质量，还与质量分布和转轴位置有关。本文将对常见刚体的转动惯量公式进行推导，并以表格形式总结其关键参数。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）定义为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中，$ m_i $ 是质点的质量，$ r_i $ 是该质点到转轴的距离。对于连续质量分布，公式变为积分形式：
$$
I = \int r^2 dm
$$
这里的 $ dm $ 是质量微元，$ r $ 是该微元到转轴的距离。
二、常见刚体的转动惯量推导
以下是对几种典型刚体的转动惯量公式的推导过程及结果。
| 刚体形状 | 转轴位置 | 质量分布 | 公式推导思路 | 转动惯量公式 |
| 均匀细杆 | 绕中心轴垂直于杆 | 线密度均匀 | 将杆分为无限小段，积分求和 | $ I = \frac{1}{12} M L^2 $ |
| 均匀细杆 | 绕一端轴垂直于杆 | 线密度均匀 | 积分从0到L | $ I = \frac{1}{3} M L^2 $ |
| 实心圆柱体 | 绕中心轴 | 体积密度均匀 | 使用圆柱坐标系积分 | $ I = \frac{1}{2} M R^2 $ |
| 空心圆柱体 | 绕中心轴 | 体积密度均匀 | 仅考虑外半径 | $ I = M R^2 $ |
| 实心球体 | 绕过球心的轴 | 体积密度均匀 | 采用球坐标系积分 | $ I = \frac{2}{5} M R^2 $ |
| 空心球壳 | 绕过球心的轴 | 表面密度均匀 | 仅考虑表面质量 | $ I = \frac{2}{3} M R^2 $ |
三、推导示例：均匀细杆绕中心轴的转动惯量
设细杆质量为 $ M $，长度为 $ L $，线密度为 $ \lambda = \frac{M}{L} $。取一质量微元 $ dm = \lambda dx $，距离中心为 $ x $，则转动惯量为：
$$
I = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda dx = \lambda \int_{-L/2}^{L/2} x^2 dx
$$
计算得：
$$
I = \lambda \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-L/2}^{L/2} = \frac{\lambda}{3} \left( \frac{L^3}{8} - (-\frac{L^3}{8}) \right) = \frac{\lambda L^3}{12}
$$
代入 $ \lambda = \frac{M}{L} $ 得：
$$
I = \frac{M L^2}{12}
$$
四、总结
转动惯量的计算依赖于质量分布和转轴的位置。通过对不同几何形状的物体进行积分分析，可以得到其对应的转动惯量公式。这些公式在工程力学、天体物理和机械设计等领域有广泛应用。
通过以上推导和表格整理，我们能够清晰地理解转动惯量的物理意义及其数学表达方式。
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