在三角函数的学习中，tan15° 是一个常见的角度，其值虽然不常见于基本公式中，但可以通过多种方法进行推导和计算。本文将介绍 tan15° 的十五种不同求法，帮助读者从不同角度理解这个数值的来源与意义。
一、利用差角公式
我们知道：
$$
\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
$$
令 $ A = 45^\circ $，$ B = 30^\circ $，则有：
$$
\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = 2 - \sqrt{3}
$$
二、利用和角公式（反向）
设 $ A = 60^\circ $，$ B = 45^\circ $，则：
$$
\tan(15^\circ) = \tan(60^\circ - 45^\circ)
$$
代入公式可得相同结果：$ 2 - \sqrt{3} $
三、使用正切半角公式
$$
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}
$$
令 $ \theta = 30^\circ $，则：
$$
\tan(15^\circ) = \frac{\sin 30^\circ}{1 + \cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}
$$
四、利用单位圆与坐标系
在单位圆上，构造一个 15° 角，通过坐标点计算斜率。例如，取点 $ (\cos 15^\circ, \sin 15^\circ) $，则：
$$
\tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}
$$
通过已知公式计算即可得到 $ 2 - \sqrt{3} $
五、利用复数模长与角度
将复数表示为极坐标形式：
$$
z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ
$$
则其对应的实部与虚部之比即为 tan15°，通过复数运算也可得出该值。
六、利用三角恒等式
如：
$$
\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1
$$
若已知 $ \cos 15^\circ $，可先求出 $ \sec 15^\circ $，再代入公式求得 tan15°。
七、利用几何图形（等边三角形与直角三角形结合）
构造一个 30-60-90 三角形，并将其分割成两个 15-75-90 的三角形，通过边长比例关系求解 tan15°。
八、利用三角函数的级数展开
对 tan(x) 进行泰勒展开，代入 x = 15°（换算为弧度），近似计算得到 tan15° 的值。
九、利用反三角函数
$$
\tan^{-1}(x) = 15^\circ \Rightarrow x = \tan(15^\circ)
$$
通过数值方法或计算器求解，验证其值为 $ 2 - \sqrt{3} $
十、利用正弦与余弦的比值
$$
\tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}
$$
分别用已知公式计算 sin15° 和 cos15°，然后相除。
十一、利用三角函数的积化和差公式
$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
$$
通过适当选择 A 和 B，可以间接求出 tan15°。
十二、利用三角函数的和差化积公式
$$
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
同样可用于辅助求解 tan15°。
十三、利用三角函数的图像性质
观察 tan(x) 在 0° 到 45° 之间的图像变化趋势，结合已知点如 tan30° = 1/√3，tan45° = 1，估算 tan15° 的值。
十四、利用数值逼近法（如牛顿迭代法）
通过设定函数 f(x) = tan(x) - (2 - √3)，并使用牛顿法进行迭代，逐步逼近真实值。
十五、利用三角函数的对称性与周期性
通过已知角度如 30°、45°、60° 的正切值，结合对称性与周期性，推导出 15° 的正切值。
结语
tan15° 的值虽然看似简单，但其背后的数学思想却十分丰富。以上十五种求法涵盖了代数、几何、微积分、数值分析等多个数学领域，展示了三角函数的多样性和灵活性。通过这些方法，不仅可以加深对三角函数的理解，还能提升解决实际问题的能力。
